標準偏差と分散とは？違いと求め方をやさしく解説

みなさん、こんにちは。スマート・アナリティクスの畠です。 標準偏差と分散は、どちらも「データがどれくらいばらついているか」を表す数値です。名前が似ていて混乱しやすいのですが、違いはとてもシンプルで「単位」だけ。分散は計算しやすいように二乗したままの値、標準偏差はその平方根をとって元の単位に戻した値です。このページでは、つまずきやすいところを先回りしながら、定義と数式の意味、標本分散をn−1で割る理由、68-95-99.7ルールの使い方、SPSSでの求め方までを、順番にていねいに見ていきます。

畠

畠 慎一郎 スマート・アナリティクス株式会社 代表取締役 統計解析ソフトの提供と分析のサポートを通じて、研究や学習でデータ分析につまずく場面をたくさん見てきました。このガイドでも、わかりにくいところをやさしく解説していきます。

標準偏差と分散で何が分かるのか

平均値は、データの「真ん中」を教えてくれます。でも、平均だけではデータの姿は半分しか見えません。

たとえば、平均点が同じ60点のテストでも、クラスの全員が58〜62点に固まっている場合と、30点台の人と90点台の人に分かれている場合とでは、まったく様子が違いますよね。前者は実力がそろっていて、後者は大きく差が開いている。この「真ん中からの散らばり具合」をひとつの数値にまとめてくれるのが、分散と標準偏差です。

標準偏差と分散が答えてくれるのは、「データは平均の近くにギュッと集まっているのか、それとも広く散らばっているのか」という問いです。値が小さいほどデータは平均の近くに密集し、大きいほど広く散らばっています。

分散とは何か

分散（variance）は、それぞれのデータが平均からどれだけ離れているかを二乗して、その平均をとった値です。

μ は母平均、x̄ は標本平均、N・n はデータの個数です。式が少し難しく見えるかもしれませんが、考え方を順番に追えば大丈夫です。

なぜ「差」をそのまま足さないのか

ばらつきを測るなら、それぞれのデータと平均の差（偏差）を全部足せばよさそうに思えます。ところが、偏差をそのまま合計すると、必ずゼロになってしまいます。平均より上にある分と下にある分が、ちょうど打ち消し合うからです。これではばらつきの大きさを測れません。

なぜ「二乗」するのか

打ち消し合いを防ぐ方法は二つあります。絶対値をとる方法と、二乗する方法です。統計学が二乗を選んだのは、二乗した量のほうが数学的に扱いやすく、後に学ぶ多くの手法ときれいにつながるからです。分散分析・回帰分析など、これから出会う手法の多くは、この「二乗和」の考え方の上に組み立てられています。

ただ、二乗したことで単位も二乗されてしまいます。テストの点数（点）の分散は「点²」という、ちょっと想像しにくい単位になります。この使いにくさを補ってくれるのが、次に出てくる標準偏差です。

標準偏差とは何か

標準偏差（standard deviation）は、分散の正の平方根です。

平方根をとると、単位が元に戻ります。テストの点数なら、標準偏差の単位も「点」です。「平均70点、標準偏差8点」と言われれば、だいたい62〜78点あたりに多くの人が散らばっているな、とすぐにイメージできます。これは「分散64点²」と言われても、なかなか思い浮かばないものです。

学ぶうえでは、計算の途中では分散を使い、結果を読み取ったり説明したりするときには標準偏差を使う、という流れを覚えておくと迷いません。両者は同じことを別の単位で表しているだけで、対立する指標ではありません。

なぜ標本分散は n−1 で割るのか

学びはじめた方がいちばん「なぜ？」と立ち止まるのが、標本分散の分母です。データが n 個あるのに、どうして n ではなく n−1 で割るのでしょうか。授業や相談の場で、私はこの質問を本当に何度も受けてきました。

理由は「自由度（degrees of freedom）」の補正です。標本分散を計算するとき、私たちは母平均 μ を知らないので、代わりに標本平均 x̄ を使います。ところが標本平均は、そのデータ自身から計算した値なので、データに少し「寄り添って」います。その結果、x̄ のまわりで測った偏差二乗和は、本当の μ のまわりで測ったときより、構造的に小さくなってしまいます。

このまま n で割ると、母分散をいつも小さめに見積もることになります。これを補うために、分母をひとつ小さい n−1 にして、値をほんの少し大きくします。x̄ をひとつ推定に使ったことで、データが自由に動ける数が n から n−1 に減った——これが「自由度が1失われる」という言い回しの意味です。n−1 で割って得られる分散は、母分散をかたよりなく推定してくれるので、不偏分散と呼ばれます。

標準偏差の解釈：68-95-99.7ルール

データが正規分布に近いとき、標準偏差は分布をはかる「ものさし」として、とても頼りになります。

これを68-95-99.7ルール（経験則）と呼びます。平均70点・標準偏差8点のテストなら、約68%の人が62〜78点、約95%の人が54〜86点に収まる、と読み替えられます。

このルールは、極端な値（外れ値）を見つけるときにも役立ちます。平均から3SD以上離れた値は、出てくる確率が0.3%にも満たないので、「これはかなり珍しい値だ」と判断できます。ただし、この読み方は分布が正規分布に近いことが前提です。分布が大きく歪んでいるときは割合がずれてしまうので、まずヒストグラムなどで分布の形を確かめてから使ってください。

母集団と標本──記号の使い分け

分散・標準偏差は、対象が母集団なのか標本なのかで、記号と分母が変わります。混乱しやすいところなので、表で整理しておきましょう。

調査や研究で実際に手元にあるのは、ほとんどの場合「標本」です。ですから、みなさんが計算するのは標本分散・標本標準偏差（n−1ベース）だと考えて、まず差し支えありません。母集団そのものをまるごと把握できるのは、かなり例外的な場面です。

関連するばらつき指標との違い

ばらつきを測る指標は、標準偏差だけではありません。場面に応じて使い分けられると、ぐっと理解が深まります。

とくに混同されやすいのが、標準偏差と標準誤差です。標準偏差は「個々のデータのばらつき」、標準誤差は「標本平均という推定値のばらつき」を表し、SE = s ÷ √n という関係があります。グラフのエラーバーがSDなのかSEなのかで意味がまったく変わってしまうので、図表ではどちらかを必ず書き添えてください。

SPSSでの求め方

IBM SPSS Statistics では、「分析」→「記述統計」→「記述統計量」を選び、対象の変数を指定して「オプション」で標準偏差・分散にチェックを入れると求められます。「度数分布表」や「探索的」のメニューからも出せます。

出力表で「標準偏差」と表示される値は不偏（n−1ベース）です。これを二乗すれば分散と一致します。あわせて歪度・尖度も出しておき、68-95-99.7ルールを当てはめてよい分布の形かどうかを確かめておくと安心です。標準偏差・分散は、t検定・分散分析・回帰分析など多くの手法の内部で使われる基礎の数値なので、本格的な分析の前に「まず記述統計量を出す」のがおすすめの進め方です。SPSSの具体的な画面操作は「SPSSの使い方」シリーズでくわしく解説しています。

つまずきやすいポイントと注意点

外れ値に弱いことを知っておきます。標準偏差は偏差を二乗するので、極端な値がひとつあるだけで大きくふくらみます。外れ値が疑われるデータでは、四分位範囲を併せて見るか、外れ値をどう扱うかを先に決めてください。

単位が違うデータを標準偏差で直接比べないようにします。身長（cm）の標準偏差と体重（kg）の標準偏差を「どちらが大きい」と比べても、意味がありません。単位をまたいで比べたいときは、変動係数を使います。

正規分布を前提にした読み方に注意します。68-95-99.7ルールは、分布が正規分布に近いときの経験則です。分布が大きく歪んでいるときは、この割合は成り立ちません。

よくある質問